Первый член арифметической прогрессии (a₁) является базовым элементом, от которого зависят все остальные члены последовательности. Нахождение a₁ требуется при решении различных задач на арифметические прогрессии, особенно когда известны другие параметры последовательности. Для определения первого члена используются разные формулы в зависимости от имеющихся данных.

Основная формула n-го члена арифметической прогрессии

Фундаментальная формула арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + d(n-1), где aₙ — n-й член прогрессии, d — разность прогрессии, n — номер члена. Для нахождения a₁ из этой формулы выражаем: a₁ = aₙ — d(n-1). Эта формула применяется, когда известен любой член прогрессии, его номер и разность. Например, если a₅ = 20, d = 3, то a₁ = 20 — 3(5-1) = 20 — 12 = 8.

Использование суммы членов прогрессии для нахождения a₁

Если известна сумма n первых членов прогрессии Sₙ, то a₁ можно найти по формуле: a₁ = [2Sₙ — dn(n-1)]/(2n) или через формулу Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Во втором случае, зная Sₙ, n и aₙ, получаем: a₁ = (2Sₙ)/n — aₙ. Например, при S₅ = 50, a₅ = 18 находим a₁ = (2×50)/5 — 18 = 20 — 18 = 2. Эти формулы особенно полезны, когда в задаче даны суммы, а не отдельные члены.

• a₁ = aₙ — d(n-1) — через n-й член и разность
• a₁ = (2Sₙ)/n — aₙ — через сумму и n-й член
• a₁ = [2Sₙ — dn(n-1)]/(2n) — через сумму и разность
• a₁ = (aₘ + aₖ — d(m+k-2))/2 — через два любых члена
• a₁ = (Sₙ — d×(n-1)n/2)/n — альтернативная формула через сумму

Решение систем уравнений для нахождения первого члена

Когда известны два различных члена прогрессии, но неизвестна разность, можно составить систему уравнений. Например, если a₃ = 10 и a₇ = 26, то система будет: a₁ + 2d = 10 и a₁ + 6d = 26. Вычитая первое уравнение из второго, получаем 4d = 16, откуда d = 4. Подставляя в первое уравнение: a₁ + 8 = 10, значит a₁ = 2. Этот метод универсален и работает с любыми двумя известными членами прогрессии.

Нахождение первого члена арифметической прогрессии требует понимания взаимосвязей между параметрами последовательности. Правильный выбор формулы в зависимости от известных данных упрощает решение задач на прогрессии.